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Euclides y la base de las matemáticas PDF Imprimir Correo electrónico
Biblioteca Temática - Biografías
Escrito por José Luis Pro Martín   
Martes 23 de Septiembre de 2008 03:00

180px-euklid2.jpgEn Alejandría, Euclides desarrolló obras de índole física, matemática y de ingeniería, pero prestaba especial atención al desarrollo y estudio de la geometría, a la que consideraba como materia perfecta que era digna de estudiarse por ella misma. Cuenta la tradición una anécdota sobre un alumno que le preguntó a Euclides sobre los beneficios que podría obtener gracias al estudio de la geometría. Euclides mandó que le dieran al alumno una moneda para que dispusiera de beneficios inmediatos.

Pero como es más conocido es p or su obra "Los Elementos", un tratado en trece volúmenes, que al contrario de lo que piensa mucha gente no sólo habla de geometría, también existen referencias claras (y quizás de las primeras) a la teoría de números y aritmética. De hecho, se consideran Los elementos como una recopilación de las matemáticas de su época ya que se basa en parte en resultados obtenidos por matemáticos anteriores, por ejemplo, Pitágoras.

Euclides fue un sabio y matemático griego que se vincula siempre al ambiente científico y académico de la antigua biblioteca y universidad de Alejandría.

Se podría decir que fue el más importante matemático de la antigüedad pero los detalles biográficos de Euclides tan sólo se conocen gracias a Proclo, historiador de la matem ática griega. Según Proclo Euclides nació sobre el 300 a.C. en algún lugar de Grecia, fue instruido en Atenas y más tarde fue enviado a Alejandría donde se hizo jefe del departamento de Matemáticas de su universidad.

En Alejandría, Euclides desarrolló obras de índole física, matemática y de ingeniería, pero prestaba especial atención al desarrollo y estudio de la geometría, a la que consideraba como materia perfecta que era digna de estudiarse por ella misma. Cuenta la tradición una anécdota sobre un alumno que le preguntó a Euclides sobre los beneficios que podría obtener gracias al estudio de la geometría. Euclides mandó que le dieran al alumno una moneda para que dispusiera de beneficios inmediatos.

Aquí lo vemos enseñando con su herramienta preferida, el compás. Extracto del mural La Escuela de Atenas por Rafael.
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Pero como es más conocido es por su obra "Los Elementos", un tratado en trece volúmenes, que al contrario de lo que piensa mucha gente no sólo habla de geometría, también existen referencias claras (y quizás de las primeras) a la teoría de números y aritmética. De hecho, se consideran Los elementos como una recopilación de las matemáticas de su época ya que se basa en parte en resultados obtenidos por matemáticos anteriores, por ejemplo, Pitágoras.

Los libros I, II, III, y IV tratan sobre los conceptos básicos de la geometría plana. Los libros V y VI hablan de la teoría de la proporción. Los libros VII, VIII y IX tratan de aritmética. El libro X habla de los irracionales ya ampliamente aceptados después de los pitagóricos. Los libros XI, XII y XIII tratan sobre la geometría en el espacio.

Vamos a fijarnos en el contenido del primer libro. Empieza con 23 definiciones sobre cosas tales como el punto, la recta, el plano y demás elementos básicos de la geometría.

Sigue después el texto matemático que más ha influido en el desarrollo cultural y tecnológico hasta la fecha:

POSTULADOS:

1. Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta.
2. Un segmento rectilíneo puede ser alargado todo lo que se desee.
3. Hay una sola circunferencia con un centro dado y radio dados.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado.

Después siguen unas nociones comunes que todo el mundo debería saber y estar de acuerdo:

NOCIONES COMUNES:

1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
2. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales también.
3. Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales también.
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la suma de las partes.

Y por último vienen 48 proposiciones, enunciados que se pueden demostrar gracias a todo lo anterior.
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Esta estructura tan sencilla (definiciones, postulados y proposiciones) es tan simple y a la vez tan consistente que se sigue utilizando, más de dos mil años después, en todos los tratados matemáticos de la actualidad.

Vamos a analizarlo un poco más. Con las definiciones el autor impone que los conceptos utilizados más adelante sean los mismos para todo el mundo. Los postulados o axiomas son aquellos conceptos que debemos aceptar sin cuestionarnos si son verdad o no, sea por que son evidentes en sí mismos o por que son necesarios para mantener la consistencia del trabajo posterior. Los postulados son el punto de partida a partir de los cuáles se pueden sacar conclusiones con certeza sobre ciertos elementos matemáticos (proposiciones).

Vamos a verlo con un ejemplo:
La proposición 1 nos dice lo siguiente: "Construir un triángulo eq uilátero sobre un segmento dado." Para ello Euclides pinta figuras y etiqueta los puntos con letras y símbolos para que sepamos qué está haciendo.
Proposición 1 de Euclides


1. Describir con centro en A y radio AB la circunferencia c. [Postulado 3]
2. Describir con centro en B y radio BA la circunferencia d. [Postulado 3]
3. A partir del punto C donde se cortan c y d trácense segmentos AC y BC. [Postulado 1]
4. Puesto que A es el centro de la circunferencia c que pasa por B y C, se puede afirmar que AB = AC. [Definición 15]
5. Puesto que B es el centro de la circunferencia d que pasa por A y C, se puede afirmar que AB = BC. [Definición 15]
6. Como dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí, se tiene que AB = AC = BC. [Noci&oacu te;n común 1]
7. Y hemos construido un triángulo equilátero sobre el segmento AB. Quod erat faciendum (Lo que queríamos hacer).

Para que no tengas que ir a la biblioteca corriendo para sacar los elementos de Euclides te digo cuál es la definición 15:
"Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto (llamado centro) de los que están dentro de la figura son iguales entre sí."

La demostración es inapelable. Parte de los postulados y va demostrando paso a paso que hemos conseguido lo que queríamos. La certeza matemática reside en que nadie podrá discutir el razonamiento. Esta demostración será válida entonces para el resto de los tiempos.

Ante s de Euclides, las matemáticas consistían en ciertos escritos inconexos donde apenas se mencionaban los principios de donde se partían, y algunas veces no había demostraciones. Euclides impuso una filosofía, el cómo hacer las cosas para que no hubiese ninguna duda. Por eso se le considera el primer matemático de la historia con pleno derecho.

La proposición cinco dice lo siguiente: "En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí, y prolongadas las dos rectas iguales, los ángulos situados bajos la base serán iguales entre sí." Podríamos ver la demostración pero no es lo que me interesa ahora. Quiero que veamos la diferencia que hay entre este enunciado y el de la proposición uno. En ésta vemos que se quiere demostrar una propiedad de una figura geométrica (teorema) mientras que en la proposición uno teníamos una construcción (problema). Por eso, cuando se acaba una demostración debemos acabar con estas dos posibles frases:

"Quod erat faciendum": Lo que queríamos hacer, si lo que has resuelto es un problema.
"Quod erat demonstrandum: Lo que queríamos demostrar, si lo que has hecho es demostrar un teorema. De hecho en los textos modernos siguen apareciendo la abreviatura de esta frase al final de las demostraciones: "q.e.d."

Lo importante es que una vez demostrada por ejemplo la proposición 5, ésta se convierte en verdad absoluta, por lo que se puede utilizar como paso en alguna que otra demostración que pueda surgir más adelante. Así funciona la ciencia matemática (muy simplificadamente), realmente muy simple. Parte de los postulados y demuestra todo lo q ue puedas, desde lo más simple a lo más complejo.

Vamos con otra proposición curiosa con historieta incluida:

Proposición 20: "En cualquier triángulo la suma de cualquiera de los dos lados es mayor que el tercero."
Proclo nos cuenta que los epicúreos tendían a ridiculizar este teorema y su demostración debido a que era tan evidente que hasta un burro podría deducirlo. Y para ello se basaban en que un burro situado sobre un vértice de un triángulo, mientras que en otro vértice se hallaba un saco de heno, iría siempre en busca de su comida a través del lado que lo une con ella en vez de ir primero al tercer vértice y después a la comida.

En la siguiente imagen se ilustra esto: suponga que el burro está en el vértice A y su comida en el B. ¿Por dónde crees que iría el burro a por su comida?
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Proclo, en cambio, replica que la percepción de verdad de un teorema es diferente de que consigamos una demostración científica del mismo. Y esto es una constante en matemáticas: cuidado con aquello que parece verdad, que también hay que demostrarlo.

Hablemos un poco del postulado quinto, llamado también el de las paralelas por su formulación equivalente: "Por un punto exterior a una recta sólo pasa una paralela a la misma". Nadie se sintió a gusto con este postulado, ni siquiera el propio Euclides, que intentó demostrarlo en varias ocasiones a partir de los postulados anteriores, siemp re sin éxito. Parecía que podía ser demostrado pero nadie lo ha conseguido hasta la fecha. De hecho se puede incluso prescindir de él y gran parte de la geometría clásica se sigue manteniendo consistente.

Una de las cosas que se pueden deducir del quinto postulado es el hecho de que en un triángulo los tres ángulos suman 180º o que el teorema de Pitágoras es verdad, pero a lo largo de la historia muchos matemáticos han intentado rehacer la geometría modificándolo o directamente imponiendo su contrario, que por un punto exterior a un recta pasan infinitas paralelas a la misma. El propio Gauss fue el primero en darse cuenta de que el postulado podía cambiarse y aún así la geometría seguía siendo consistente.

Claro que entonces habría diferencias entre la geometría de Euclides y las demás, q ue fueron llamadas geometrías no euclidianas. Un ejemplo de esto es que entonces podría haber un triángulo donde sus ángulos sumaran más o menos que 180º. De aquí surgieron geometrías curvas. Por ejemplo, si trazamos un triángulo en una superficie esférica, sus ángulos interiores sumarán más de 180º. Fíjate en la figura, aplicada a la superficie terrestre y podrás comprobar como los tres ángulos del triángulo dibujado son de 90º.

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Una de estas geometrías no planas fue ideada por Riemann, genial matemático del siglo XIX. Consistía esencialmente en una geometría que, en el entorno loc al de un punto, era equivalente a la de Euclides, pero vista desde el punto de vista global, la geometría poseía cierta curvatura. Esta geometría de Riemann le sirvió a Einstein para desarrollar su teoría general de la relatividad en 1.915 e iniciar lo que sería un nuevo concepto del espacio y el tiempo en el que estamos inmersos. Pero claro, esto, evidentemente, es otra historia…

Pocas obras del pensamiento antiguo han podido sobrevivir casi sin modificaciones hasta nuestro tiempo como lo han hecho Los Elementos de Euclides. Quizás a la altura de la teoría de la gravitación de Newton, son parte de un pensamiento universal que ha modelado nuestra cultura, en campos tan dispares como la pintura, la arquitectura, la física o la música y que perdurarán para siempre.

Para investigar:
1. Intenta encontrar en matemáti cas otra definición axiomática parecida a la que utiliza Euclides en sus Elementos.
2. Cita alguna afirmación de la cultura actual que te parezca un dogma o un axioma de forma que haya que creerlo sin más.
3. Explica qué quiere decir Euclides con aquellos de que "El todo es mayor que la suma de las partes".
4. Busca otra demostración en los elementos de Euclides pero que no esté relacionada directamente con la geometría.